Гениальная математика

Вопросы:

1. Сумма и произведение.
Один маленький мальчик загадал два различных числа. Оба строго больше 1 и строго меньше 100, натуральные. Одному мудрецу он сказал сумму (мудрец С) этих чисел, другому — их произведение (мудрец П). После чего между мудрецами состоялся диалог:
П: Мне не хватает данных, чтобы определить, что за числа загадал маленький мальчик.
С: А я знал что тебе не хватит данных!
П: Тогда я понял, что за числа он загадал…
С: Тогда и я понял…

Что за числа загадал маленький мальчик?

2. две сестры продают на рынке за день по 30 яблок каждая
первая продает 2 яблока за $1. вечером у нее в кармане $15
вторая продает 3 яблока за $1. и зарабатывает $10
итого $25 за 60 яблок

на следующий день они решают объединиться. но ценовую политику не менять
и продавать 5 яблок за $2
за день они продают те же 60 яблок
но получают за них только… (60 делим на 5 и умножаем на 2)… $24

куда делся один доллар?

3. Допустим, что вы разорвали колоду карт пополам, сложили стопкой две половины, снова разорвали пополам и т.д. Допустим, что такая процедура была проделана 52 раза, а все полученные кусочки были сложены в стопку.
Какой высоты окажется эта стопка?
Хотя бы примерно?

4. Из Москвы во Владивосток каждый день выходит поезд. Так же каждый день из Владивостока в Москву выходит поезд. Переезд длится 10 дней. Если вы выехали из Владивостока в Москву, то сколько поездов, идущих в обратном направлении, встретится вам во время поездки?

5. Как известно, в любом атоме есть ядро, размеры которого меньше размеров самого атома. Если размер атомного ядра равен 10-12 см, а размер всего атома равен 10-6 см, следовательно, ядро по размеру меньше самого атома в 2 раза, ведь 12 : 6 = 2. Верно ли это утверждение? Если нет, то во сколько раз атомное ядро меньше атома?

6. Собеседник предлагает вам задумать любое число. Далее он просит вас удвоить его и к полученному результату прибавить 5. Затем он предлагает умножить получившееся число на 5 и к результату прибавить 10. Потом он просит эту последнюю сумму умножить на 10 и сообщить ему результат. После этого он называет задуманное число. Как он это делает?

7. Один математик предложил торговцу такую сделку. Математик дает торговцу 100 рублей, а торговец дает математику взамен 1 копейку. Каждый следующий день математик дает торговцу на 100 рублей больше, чем в предыдущий, т. е. на второй день он дает ему 200 рублей, на третий — 300 рублей и т. д. А торговец дает математику взамен в два раза больше денег, чем в предыдущий день, т.е. на второй день он дает ему 2 копейки, на третий — 4 копейки, на четвертый — 8 копеек, на пятый — 16 копеек и т. д. Производить такой обмен они договорились в течение 30 дней. Кому из них этот обмен выгоден и почему?

8. Три человека заплатили за обед 30 рублей (каждый по 10). После их ухода хозяйка обнаружила, что обед стоит не 30, а 25 рублей, и отправила мальчика с 5 рублями вдогонку. Каждый из путников взял себе по рублю, а 2 рубля они оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10, а по 9 рублей. Их было трое: 9 x 3 = 27, и еще два рубля у мальчика: 27 + 2 = 29. Куда делся рубль?

9. Прямоугольный лист бумаги сложили пополам шесть раз. На сложенном листе сделали 2 дырки. Сколько дырок будет на листе, если его развернуть? (Дырки сделаны не на сгибах.)

10. Собеседник предлагает вам задумать любое трехзначное число. Потом он просит продублировать его, чтобы получилось шестизначное число. Например, вы задумали число 389, продублировав его, имеем шестизначное число — 389 389; или 546 — 546 546 и т.п. Далее собеседник предлагает вам это задуманное наобум число разделить на 13. «Вдруг получится без остатка», — говорит он. Вы производите деление с помощью калькулятора (можно и без него) и действительно ваше шестизначное число делится на 13 без остатка. Далее он предлагает вам получившийся результат разделить на 11. Вы делите, и опять получается без остатка. И, наконец, собеседник просит вас разделить получившийся результат на 7. Деление не только проходит без остатка, но и дает в результате то самое трехзначное число, которое вы произвольно выбрали сначала. Каким образом это происходит?

11. Собеседник предлагает вам задумать любое двузначное число и продублировать его два раза таким образом, чтобы получилось шестизначное число. Например, 27 — 272 727 или 78 — 787 878. Далее он, не зная, разумеется, вашего шестизначного числа, предлагает вам разделить его на 37 и гарантирует, что деление пройдет без остатка. Вы производите деление, и, действительно, остатка не имеется. Далее он предлагает разделить получившийся результат на 13 и опять уверяет вас, что остатка не будет. Вы делите и вновь без остатка. Потом он точно так же просит вас разделить результат на 7 и после этого — еще на 3. Окончательное деление снова не дает остатка и, более того, вы получаете задуманное вами двузначное число, которое собеседнику было неизвестно. Каким образом он проделывает этот удивительный, на первый взгляд, фокус?

12. Собеседник просит вас задумать любое трехзначное число, а потом предлагает записать его цифры в обратном порядке, чтобы получилось еще одно трехзначное число. Например, 528 — 825, 439 — 934 и т.п. Далее он просит от большего числа отнять меньшее и сообщить ему последнюю цифру разности. После этого он называет разность. Как он это делает?

13. Как известно, все физические тела состоят из молекул, а молекулы — из атомов, которые представляют собой невообразимо малые частицы (если миллиметр на вашей линейке мысленно разделить на миллион частей, то одна миллионная часть миллиметра и будет примерным размером атома). Теперь представим себе, что тетрадную страницу разрывают пополам, затем одну из половинок снова делят пополам, потом одну из четвертинок опять делят надвое и т.д. Сколько раз надо будет таким образом разделить тетрадную страницу, чтобы она стала размером с атом? (Предположим, что тетрадная страничка весит 1 г, а вес атома — 10-24 г.)

14. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик, сделанный из того же материала, если все его размеры в два раза меньше?

15. Собеседник предлагает вам задумать некое число, потом проделать с ним какую-либо последовательность математических действий и сообщить ему результат, после чего называет задуманное число. Как он это делает?

16. На рынке продаются два арбуза разных размеров. Один из них в полтора раза шире другого, а стоит он в два раза дороже его. Какой из этих арбузов выгоднее купить и почему?

17. Какой высоты будет столбик, составленный из всех миллиметровых кубиков, заключенных в одном кубическом метре?

18. Собеседник просит вас задумать любое трехзначное число, после чего моментально умножает его на 999. Например, вы задумали число 147, но уже через мгновение собеседник сообщает вам результат умножения этого числа на 999, а именно — 146 853. Вы проверяете на бумаге или калькуляторе — все правильно, действительно будет 146 853. Вы просите его повторить эту операцию, называя ему другое трехзначное число, например 276. Он так же стремительно умножает его на 999 и сообщает вам результат — 275 724. Вы проверяете — все верно. С неизменной легкостью и быстротой собеседник умножает любые предложенные ему трехзначные числа на 999, ни разу не ошибаясь и объясняя это своими «математическими способностями». Вы конечно же догадываетесь, что дело здесь не в способностях, а в чем-то другом. В чем же заключается секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999?

19. Первая кружка вдвое выше второй, но вторая вдвое шире первой. Какая из этих кружек вместительнее?

20. Улитка решила забраться на дерево, высота которого равна 15 м. Каждый день она поднималась на 5 м, но каждую ночь, во время сна, спускалась вниз на 4 метра. Через сколько суток после начала своего путешествия она достигнет вершины дерева?

21. 1
Добавьте 1 черточку.

22. Кто изобрел арабские цифры: 1,2,3…

ОТВЕТЫ:

1.
4 и 13.
Человек, знающий произведение, не смог ответить сразу, что это за числа, значит: а) это не были два простых числа; б) в произведении не участвовали простые числа больше 50 (иначе множители определялись бы однозначно!)
2. Человек, знающий сумму, заранее знал, что у его партнера не получится определить числа. Это означает, что сумма, которую он знал, была такой: а) её невозможно было разбить на два простых слагаемых. б) сумма не была больше определенного числа(сейчас его вычислим), иначе одним из слагаемых могло бы стать какое-то простое число большее 50.
Чтобы сузить круг «подозреваемых сумм», заметим, что два простых слагаемых либо в сумме дадут четное число, либо одно из них — 2, причем во втором варианте второе слагаемое — составное!
Итак, перебор показал, что таких сумм не так уж и много:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53
Первый понял, что сумма чисел — из вышеперечисленных. Произведение было таким, что из всех названных сумм только одна давала однозначный результат. Поскольку все возможные суммы — нечетные, то и в произведении одно число было четным, а второе — нечетным. Более того, для однозначности первый множитель должен быть простым, а второй — степенью двойки! Итак, нам нужно отобрать все суммы, однозначно представимые в виде простое число + степень двойки:
11=3+8=7+4 — отпадает
17=13+4 — подходит
23=19+4=7+16 — отпадает
27=11+16=23+4 — отпадает
29=13+16 — подходит
35=19+16=31+4 — отпадает
37=29+8=5+32 — отпадает
41=37+4 — подходит
47=31+16=43+4 — отпадает
51=47+4=19+32 — отпадает
53=37+16 — подходит.
Итак, однозначные суммы: 17, 29, 41, 53.
Одна из этих сумм распадается на множители однозначно. Выберем, какая же: 17: 2*15=6*5 — отпадает, так как 6+5=11, а 15+2=17. И та и та сумма были в списке, а значит первый не мог выбрать одну из сумм; 3*14=2*21 — отпадает, так как 3+14 и 2+21 были в списке сумм и выбрать одну из них первый не мог; 4*13 — подходит; 5*12=3*20 — отпадает; 6*11=2*33 — отпадает; 7*10=2*35 — отпадает; 8*9=3*24 — отпадает. Итак, подходит только 4*13.
Аналогично перебирая все остальные суммы, получим единственный ответ — 4 и 13.

2. сначала средняя стоимость яблока (1/2 +1/3)/2= 5/12 (всего 5/12 * 60 = 25). Потом средняя стоимость стала равнятся 2/5, что дает 2/5 * 60 = 24

3. Высота получившейся колоды будет больше расстояния от Земли до Солнца.

4. На первый взгляд может показаться, что во время поездки мы повстречаем десять поездов. Но это не так: мы встретим не только те десять поездов, которые вышли из Москвы после нашего отправления, но и те, которые к моменту нашего отъезда уже находились в пути. Значит, мы встретим не десять, а двадцать поездов.

5. Утверждение о том, что атомное ядро меньше самого атома в два раза, конечно же не верно: 10-12 см меньше, чем 10-6 см не в два раза, а в миллион раз.

6. Задуманное число — это х. Над ним совершаются следующие действия:
х · 2 + 5= 2х + 5
(2х + 5) · 5 = 10х + 25
10х + 25 + 10 = 10х + 35
(10х + 35) · 10 = 100х + 350
iOOx + 350 — 350 = 100х
100x : 100 = x

Когда собеседник просит вас назвать результат проделанных математических действий, ему известно, что это 100х + 350. Далее он отнимает от вашего результата 350 и делит то, что получилось, на 100. Таким образом, в итоге, он «отгадывает» задуманное вами число.

7. Обмен выгоден математику и невыгоден торговцу, так как количество денег, которые выплачивает торговец математику, пусть даже ничтожно малое вначале, увеличивается в геометрической прогрессии, а деньги, которые платит математик торговцу, увеличиваются в арифметической прогрессии. Через 30 дней математик отдаст торговцу около 50 тысяч рублей, а торговец будет должен математику более 10 миллионов рублей.

8. У хозяйки 25 рублей, у мальчика 2 рубля. Всего 27 рублей, значит те 2 рубля, которые у мальчика, входят в цифру 27. А в условии задачи к 27 прибавлено 2 рубля, которые у мальчика, и поэтому получается 29. Надо к 27 не прибавлять 2 рубля, а отнимать.

9. На развернутом листе будет 128 дырок. Надо принять во внимание, что при каждом складывании листа количество дырок удваивается.

10. Эффект этой задачи-фокуса заключается в том, что увеличение любого трехзначного числа до шестизначного путем его дублирования равносильно умножению этого трехзначного числа на 1001. Кроме того, произведение чисел 13, 11 и 7 также равно 1001. Следовательно, если получившееся шестизначное число разделить в любой последовательности на эти три числа (13, 11, 7), то получится исходное трехзначное число.

11. Любое двузначное число, умноженное на 10 101, дает само себя, продублированное два раза в виде шестизначного числа:

17 х 10101 = 171 717
23 х 10101 = 232 323
39 х 10101 = 393 939

Это происходит по следующей причине:

830 000 + 8 300
83 х 10101 =83 х (10 000 + 100 + 1) = 83
838 383

Таким образом, любое шестизначное число вида ababab делится без остатка на 10 101 и в результате дает число вида ab. Но 10 101 можно представить как произведение: 3 х 7 х 13 х 37, значит, любое число вида ababab будет без остатка делиться последовательно и на 3, и на 7, и на 13, и на 37 (последовательность, разумеется, может быть любой) и в результате даст число вида ab (см. также задачу 98).

Фокус можно разнообразить, если учесть, что число 10101 можно представить и в виде произведения других множителей:

21 х 13 х 37

7 х 39 х 37

3 х 91 х 37

7 x 13 x 111

12. При вычитании меньшего числа из большего действует одна закономерность: сумма всех цифр разности всегда будет равна 18 (независимо от исходных чисел). Кроме того, второй цифрой разности всегда будет 9. Таким образом, зная последнюю цифру разности (или первую), можно безошибочно установить всю разность.

13. Может показаться, что нужно совершить миллионы делений тетрадной странички, чтобы она стала размером с атом. На самом же деле надо будет сделать намного меньше делений. Любое последовательное удвоение (в сторону увеличения или уменьшения) — это последовательное возведение 2 в степень: 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16 и т.д. (увеличение) или 2-1 = 1/2; 2-2 = 1/2; 2-3 = 1/8; 2-4 = 1/16 и т.д. (уменьшение). Даже устно можно вычислить, что 210 ≈ 1000 и 2-10 ≈ 1/1000 или, что то же самое, 210 ≈ 103 и 2-10 ≈ 10-3. Если 10-24 (примерный вес атома) в восемь раз меньше, чём 10-3 и, как мы уже выяснили, 10-3 ≈ 2-10, то 10-24 ≈ 2-80. Последовательное же возведение 2 в отрицательную степень — это не что иное, как последовательное деление пополам (см. выше). Значит, потребуется примерно всего 80 последовательных делений тетрадной странички пополам для того, чтобы она превратилась в частицу атомных размеров.

14. Не подумав, можно сразу ответить, что игрушечный кирпичик весит 2 кг, т.е. вдвое меньше. Он не только вдвое короче, чем настоящий кирпич, но и вдвое уже, а также вдвое ниже. Следовательно, его объем и вес меньше в2х2х2 = 8 раз. Значит, игрушечный кирпичик весит 4 : 8 = 0,5 кг.

15. Искусство «отгадывания» чисел сводится к составлению и решению простейших уравнений. Задуманное вами число собеседник обозначает как х. Далее вы производите с этим числом какие-либо математические действия, и те же действия производит в уме с числом х ваш собеседник. Например:

Задумай число х
прибавь к нему 4 х + 4
умножь результат на 5 5х + 20
отними 5 5х + 15
отними задуманное число 4х + 15
умножь результат на 2 8х + 30
отними 20 8х+ 10
опять отними задуманное число 7х + 10
умножь результат на 10 70х +100
отними 25 70х + 75
Наконец, собеседник просит вас сообщить ему результат всех операций. Зная его, он быстро составляет и решает простое уравнение и «отгадывает» задуманное вами число. Допустим, результатом вышеуказанных операций было 215. Собеседнику остается решить в уме уравнение 70х + 75 = 215 (из которого 70х = 140, х = 2) и назвать задуманное число.

Фокус можно разнообразить, предложив собеседнику (теперь поменяемся с ним местами) задумать какое-либо число и, не называя его вам, вслух производить с ним те математические действия, какие он пожелает. Например, он говорит вам: «Я задумал число, прибавил к нему 2, результат умножил на 5…» и т.п. Вы же в уме проделываете те же действия с числом х. После этого он сообщает вам результат своих операций, а вы, быстро составляя и решая в уме простое уравнение, «отгадываете» задуманное им число. (Желательно внести ограничение в совершаемые собеседником математические действия, исключив операцию деления, так как она значительно усложнит фокус, т.е. пусть он производит с числом только сложение, вычитание и умножение). Необходимо добавить, что в том случае, когда собеседник производит математические действия сам, может получиться, что из уравнения исчезнет х. Например, на каком-то этапе у вас получается х + 20, а собеседник говорит: «Теперь я отнимаю задуманное число». У вас получается х + 20 — х = 20. В этом случае надо попросить его не называть конечного результата всех операций, который, к удивлению собеседника, сообщаете ему вы.

16. Если один арбуз в 1,5 раза шире другого, то по объему он больше него в 1,5 х 1,5 х 1,5 = 3,375 раз (ведь увеличение объема тела соответствует кубическому увеличению его линейных размеров). Таким образом, больший по размеру арбуз почти в 3,4 раза объемнее своего соседа, а стоит он только в 2 раза дороже, поэтому выгоднее купить более крупный арбуз.

17. На одной стороне кубического метра находится 1000 миллиметровых кубиков, ведь 1м = 100 см = 1000 мм. Значит, 1 куб. м включает в себя 1000 х 1000 х 1000 = 1 млрд. миллиметровых кубиков. Поставленные друг на друга, все эти кубики образуют столбик высотой в 1 млрд. мм, или в 1 млн. м, или в 1000 км.

18. Секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999 очень прост: предложенное вам число надо уменьшить на единицу и приписать к нему справа три числа, которые будут «дополнениями» первых трех чисел до девятки, в результате чего получится шестизначное число. Например:

147 х 999 = 146 853

Эта особенность числа 999 заключается в том, что его можно представить как 1000 — 1:

147 х999= 147 х (1000 -1)= 147 000-147 = 146 853

Фокус можно разнообразить, если разложить 999 на множители:

999 = 9 х 111 = 3 х 9 х 37 = 27 х 37

Теперь вы якобы «произвольно» называете собеседнику шестизначное число (которое, конечно же, должно быть кратно 999, т.е. должно обладать вышеописанной особенностью, например, 875 124) и уверяете его, что оно поделится без остатка на 37. Он производит деление, и действительно получается без остатка. Далее вы гарантируете ему, что полученный результат будет делиться без остатка на 27. Собеседник совершает деление, которое вновь проходит без остатка. Более того, вы заранее знаете конечный результат. В данном случае вам могут заметить, что шестизначное число было вами заранее подготовлено, на что вы выражаете готовность сходу писать целые колонны произвольных шестизначных чисел (конечно же, якобы «произвольных»), которые обязательно будут делиться без остатка на 37 и на 27 (а также — на три, девять и сто одиннадцать).

19. На первый взгляд может показаться, что кружки одинаковы по вместительности, ведь одна во столько же раз выше, во сколько другая шире. Однако в данном случае высоту и ширину нельзя столь просто сопоставлять. Вместительность кружек связана с их объемом. Объем же любого цилиндрического тела вычисляется по формуле πR2h, где R — радиус основания цилиндра, а h — его высота. Если первая кружка вдвое выше другой, то ее объем будет равен πR2h. Вторая кружка, которая вдвое шире, имеет объем π(2R)2h = π4R2h. Сократим выражения, обозначающие объемы кружек на nR2h, тогда в первом случае получится 2, а во втором 4, т.е. вторая кружка имеет в два раза больший объем и, следовательно, в два раза вместительнее первой.

20. Можно сразу предположить, что вершины дерева улитка достигнет через 15 суток. Однако такой ответ неверен. Улитка заползет на вершину дерева через 10 суток и 1 день, или через десять с половиной суток. В течение первых 10 суток после начала своего путешествия она поднимется на 10 м, по 1 м в сутки. В течение следующего одного дня она преодолеет еще 5 м, т.е. достигнет вершины дерева.

21. 5+545=550

22. Арабские цифры были изобретены не арабами, а индийскими математиками.

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s